Question

7．已知圓P：x²+y²-4y=0及拋物線$S：y=\frac{x^2}{8}$，過圓心P作直線l，此直線與兩曲線有四個交點，自左向右順次記為A，B，C，D．如果線段AB，BC，CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，則直線l的方程為（　　）

• A． $y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$
• B． $y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$或$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$
• C． $y=\sqrt{2}x+2$
• D． $y=\sqrt{2}x+2$或$y=-\sqrt{2}x+2$

Answer 1

分析 先確定圓P的標準方程，求出圓心與直徑長，設出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直線l的斜率的值，即可求出直線l的方程．

解答 解：圓P的方程為x²+（y-2）²=4，則其直徑長|BC|=4，圓心為P（0，2），
∵AB，BC，CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，
∴|AB|+|CD|=2|BC|=8，即|BC|=4，
又|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|=12．
設直線l的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x²=8y得：x²-8kx-16=0，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），有$\left\{\begin{array}{l}△=64{k^2}+64＞0\\{x_1}+{x_2}=8k，\;\;\\{x_1}{x_2}=-16，\;\;\end{array}\right.$，∴$|AD|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+{k^2}）（64{k^2}+64）}=8（{k^2}+1）$，
∴8（k²+1）=12，即${k^2}=\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴直線l的方程為$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$或$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$，
故選：B．

點評 本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查等差數(shù)列，考查學生的計算能力，確定|AD|是關鍵，綜合性較強，運算量較大．