Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅲ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析;（Ⅲ）1．

【解析】試題分析：

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程即可；

(2)令 ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 ,證得 即可.

(3)令 ，討論函數(shù) 的性質(zhì)結(jié)合恒成立的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.

試題解析：

（Ⅰ）， ，

又，所以切線方程為；

（Ⅱ）由題意知，令 ．

令，解得．

易知當(dāng)時(shí)， ，易知當(dāng)時(shí)， ．

即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以，

即，即．

（Ⅲ）設(shè)，依題意，對(duì)于任意， 恒成立．

，

時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ，滿足題意．

時(shí)，隨變化， ， 的變化情況如下表：

	—	0	+
	↘	極小值	↗

在上單調(diào)遞減，所以

即當(dāng)時(shí)，總存在，不合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值為1．