【題目】已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于、兩點，且，點是橢圓上異于、的任意一點，直線外的點滿足， ．　

（1）求點的軌跡方程；

（2）試確定點的坐標(biāo)，使得的面積最大，并求出最大面積．

【答案】（1）點的軌跡是橢圓除去四個點， ， ， ，其方程為（， ）；（2），點的坐標(biāo)為或.

【解析】試題分析：（1）由已知雙曲線的頂點可得橢圓焦點，再由橢圓過定點可解得參數(shù)的值，得到橢圓方程；由已知條件設(shè)出點的坐標(biāo)，再由已知向量積為零可得兩坐標(biāo)值的關(guān)系，再由點在橢圓上，分析可得點的軌跡方程；

（3）由點到直線距離可得三角形面積表達式，由均值不等式可得面積最大值及此時點坐標(biāo)。

試題解析：

（1）由的焦點為的頂點，得的焦點 ， ．

令的方程為，因為在上，所以．

于是由解得， ，所以的方程為．

由直線與橢圓交于、兩點，知、關(guān)于原點對稱，所以．

令點， ，則， ，

， ．

于是由， ，得

即

兩式相乘得．

又因為點在上，所以，即，

代入中，得 ．

當(dāng)時，得；

當(dāng)時，則點或，此時或，也滿足方程．

若點與點重合，即時，由解得或．

若點與點重合時，同理可得或．

綜上，點的軌跡是橢圓除去四個點， ， ， ，其方程為（， ）．

（2）因為點到直線 的距離， ，

所以的面積

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即或 ，

此時點的坐標(biāo)為或．

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【題目】已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點，離心率為雙曲線離心率的一半，直線被橢圓截得的線段長為.直線： 與軸交于點，與橢圓交于兩個相異點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實數(shù)，使？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）對任意兩個實數(shù)，求證：當(dāng)時， ；

（3）對任何實數(shù)， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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(2)求的值．

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（1）求；

（2）證明：對于任意的， ；

（3）當(dāng)時，若不等式在上恒定成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線經(jīng)過點，且與橢圓交于不同的兩點,求面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時， ；

（Ⅲ）若對任意恒成立，求實數(shù)的最大值．

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【題目】關(guān)于二項式(x－1)2 013有下列命題：

(1)該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；

(2)該二項展開式中第六項為C2 0136x2 007；

(3)該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1 007項；

(4)當(dāng)x＝2 014時，(x－1)2 013除以2 014的余數(shù)是2 013.

其中正確命題有(　　)

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

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