Question

18．甲、乙、丙三個袋子中分別裝有5個小球（這些球除顏色外都相同），甲袋中裝有4個紅球和1個綠球，乙袋中裝有1個白球、3個紅球和1個綠球，丙袋中裝有2個白球和3個紅球．
（Ⅰ）若從甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1個小球），求至少有兩次抽到紅球的概率；
（II）若從乙、丙兩個袋子中各抽取2個小球，用ξ表示抽到的4個小球中白球的個數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A表示事件“從甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1個小球），至少有兩次抽到紅球”，依題意知，每次抽到紅球的概率為$\frac{4}{5}$，即可求至少有兩次抽到紅球的概率；
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3．求出相應(yīng)的概率，即可求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A表示事件“從甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1個小球），至少有兩次抽到紅球”，依題意知，每次抽到紅球的概率為$\frac{4}{5}$，…（2分）
∴P（A）=${C}_{3}^{2}•（\frac{4}{5}）^{2}•\frac{1}{5}+{C}_{3}^{3}•（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{112}{125}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}+$$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{12}{25}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$．…（9分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{9}{50}$+1×$\frac{12}{25}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{25}$=1.2…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相應(yīng)的概率計算公式求出變量取每一個可能值的概率，列出分布列，求出期望．