7.已知函數(shù)f(x)=m-|x+1|,m∈R,且f(x-1)≥0的解集為[-2,2].
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R+,且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m,求z=a+2b+3c的最小值.

分析 (Ⅰ)由條件可得 f(x-1)=m-|x|,故有m-|x|≥0的解集為[-2,2],即可求出m的值.
(Ⅱ)由柯西不等式得z=a+2b+3c=(a+2b+3c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$)$≥\frac{1}{2}{(\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}})^2}=\frac{9}{2}$,即可求z=a+2b+3c的最小值.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)閒(x-1)=m-|x|,f(x-1)≥0等價(jià)于|x|≤m,
由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}.
又f(x-1)≥0的解集為[-2,2],故m=2.…5分
(Ⅱ)由(1)知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=2,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得
z=a+2b+3c=(a+2b+3c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$)
$≥\frac{1}{2}{(\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}})^2}=\frac{9}{2}$(當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{2}$,b=$\frac{3}{4}$,c=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào))
∴z=a+2b+3c的最小值為$\frac{9}{2}$.…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)的值域,柯西不等式在最值問題中的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.有下列說法:
①在△ABC中,若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$<0,則△ABC是鈍角三角形;
②在△ABC中$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$,若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|,則△ABC是直角三角形;
③在△ABC中,若tan $\frac{A+B}{2}$=sin C,則sin2A+sin2B=1;
④在△ABC中,E,F(xiàn)分別是AC,AB的中點(diǎn),且3AB=2AC,若$\frac{BE}{CF}$<t恒成立,則t的最小值為$\frac{7}{8}$.
其中正確說法的個(gè)數(shù)是( 。
A.4B.3C.2D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3x}{2}$,sin$\frac{3x}{2}$),$\overrightarrow$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),且x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$],記f(x)=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|,則f(x)的最小值為( 。
A.0B.1C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知α∈[$\frac{π}{4}$,π],β∈[π,$\frac{3π}{2}$],sin2α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,sin(β-α)=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
(1)求cos2α的值;
(2)求α+β的值.

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2.已知函數(shù)f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)sin($\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$)-sin(π+x),若函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)若存在x∈[0,$\frac{π}{2}$],使等式[g(x)]2-g(x)+m=0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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12.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a,公比為q,前n項(xiàng)倒數(shù)的和為S,則S等于( 。
A.$\frac{a(1-{q}^{2})}{1-q}$B.$\frac{\frac{1}{a}({q}^{n}-1)}{q-1}$C.$\frac{(1-\frac{1}{{q}^{n}})}{a(1-\frac{1}{q})}$D.$\frac{a(1-\frac{1}{{q}^{n}})}{(1-\frac{1}{q})}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3a,4a),其中a≠0,則sinα-cosα=(  )
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{7}{5}$C.±$\frac{1}{5}$D.±$\frac{7}{5}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2-|x2-ax-2|在區(qū)間(-∞,-1)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為(  )
A.[1,8]B.[3,8]C.[1,3]D.[-1,8]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則不等式f(2)<f($\frac{1}{x}$)的解集是(  )
A.(0,$\frac{1}{2}$)B.(-∞,$\frac{1}{2}$)C.($\frac{1}{2}$,+∞)D.(-∞,0)∪($\frac{1}{2}$,+∞)

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同步練習(xí)冊答案