已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求直線的方程；
（2）求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.
（1）；（2）．

試題分析：（1）直線過點(diǎn)且方向向量為
∴，方程為，
化簡(jiǎn)為：
∴直線的方程為
（2）設(shè)直線和橢圓交于兩點(diǎn)，和軸交于，由，知，
將代入中，得……①
由韋達(dá)定理知：
由②2/③知：，化為　　……④
∵，
化簡(jiǎn)，得，即，
∴，注意到，解得
又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，
由④知：，結(jié)合，求得．
因此所求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)范圍為．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及橢圓與直線位置關(guān)系問題，往往利用韋達(dá)定理。本題借助于韋達(dá)定理，建立方程組后，整理得到，進(jìn)一步利用求得a的范圍。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(0，－2)，其傾斜角是60°．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

方程表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，則的取值范圍是（      ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

以橢圓內(nèi)的點(diǎn)M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為（   ）
A．4x－y－3＝0B．x－4y＋3＝0
C．4x＋y－5＝0D．x＋4y－5＝0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

以雙曲線：的右焦點(diǎn)為圓心,并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線，若過右焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn), 點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上, .


(1)求直線的方程；
(2)求直線被過三點(diǎn)的圓截得的弦長(zhǎng)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題共14分）
已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率
(Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A.   求證：直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率e＝，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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