Question

19．已知曲線f（x）=e^x-ax-m（m∈R）在點(diǎn)（1，f（1）））處的切線方程為y=（e-1）x+1-a-m．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，證明：（$\frac{x-lnx}{{e}^{x}}$）f（x）＞1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（2）令h（x）=x-lnx，令p（x）=1-$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出它們的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
∴f′（1）=e-a=e-1，解得：a=1，
∴f（x）=e^x-x-m，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（0）=1-m；
（2）（$\frac{x-lnx}{{e}^{x}}$）f（x）=（x-lnx）（1-$\frac{x-1}{{e}^{x}}$），
令h（x）=x-lnx，h′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（1）=1①，
令p（x）=1-$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，p′（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，
∴p（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴p（x）≥p（2）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$②，
由①②得：：（$\frac{x-lnx}{{e}^{x}}$）f（x）=h（x）p（x）＞1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．