Question

10．已知n∈N^*且n＞1，設(shè)（x+1）ⁿ的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù)為a_n、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為b_n．
（1）求a₂+a₃+a₄+…+a₉的值；
（2）證明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{_{n}}}$＞$\sqrt{_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，a_n=C_n²，利用組合數(shù)的性質(zhì)，即可求a₂+a₃+a₄+…+a₉的值；
（2）先證明n=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，不等式也成立，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，a_n=C_n²，∴a₂+a₃+a₄+…+a₉=C₂²+C₃²+…+C₉²=C₁₀³=120；
（2）證明：由題意，b_n=2ⁿ．
①n=1時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$，右邊=$\sqrt{2}$，成立；
②設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}}}$＞$\sqrt{{2}^{k}}$，
n=k+1時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}+1}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$＞$\sqrt{{2}^{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k}+1}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$
＞$\sqrt{{2}^{k}}$+$\frac{{2}^{k+1}-{2}^{k}+1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$=$\frac{\sqrt{2}•{2}^{k}+{2}^{k}+1}{\sqrt{{2}^{k+1}}}$＞$\sqrt{{2}^{k+1}}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①②可知，對(duì)于任意n∈N⁺時(shí)，不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．