Question

就m的不同取值，指出方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）所表示的曲線的形狀，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件

專(zhuān)題：直線與圓

分析：對(duì)于所給的方程，當(dāng)m=1、m=3時(shí)，易得方程表示的圖形；當(dāng)m≠1，且 m≠3時(shí)，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，再分3-m=m-1、（3-m）（m-1）大于零、小于零三種情況，分別求得方程表示的曲線形狀，綜合可得結(jié)論．

解答：解：對(duì)于方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m），①當(dāng)m=1時(shí)，方程即2y²=0，即 y=0，表示x軸；
②當(dāng)m=3時(shí)，方程即2x²=0，即 x=0，表示y軸；
③當(dāng)m≠1，且 m≠3時(shí)，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，
若3-m=m-1，即m=2時(shí)，方程即為圓：x²+y²=1，表示一個(gè)單位圓； 
若（3-m）（m-1）＜0，即m＞3或者m＜1時(shí)，方程表示雙曲線；
若（3-m）（m-1）＞0且3-m≠m-1，即1＜m＜3，且m≠2時(shí)，方程表示橢圓．
綜合可得：當(dāng)m=1，方程表示x軸，當(dāng)m=3；方程表示y軸；當(dāng)m=2時(shí)，方程表示圓；當(dāng)1＜m＜3且不等于2時(shí)，方程表示橢圓；
當(dāng)m＞3或者m＜1時(shí)，方程表示雙曲線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．