Question

4．設(shè){a_n}n≥1是由遞推公式a_n+1=aa_n+ba_n-1確定的數(shù)列，α，β是方程x²-ax-b=0的兩個不同實根．
（1）證明：a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ是數(shù)列{a_n}的通項公式，這里c₁，c₂∈R是與a，b有關(guān)的待定系數(shù)；
（2）當a，b，a₁，a₂都為1時，具體求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過將α、β代入方程x²-ax-b=0，進而問題轉(zhuǎn)化為證a_n滿足遞推關(guān)系a_n+1=aa_n+ba_n-1即可，化簡、計算即得結(jié)論；
（2）通過a=b=1及（1）可知只需確定a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ中的c₁、c₂即可，進而利用α+β=1、β-α=$\sqrt{5}$代入化簡即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵α、β是方程x²-ax-b=0的兩個不同實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{α}^{2}-aα-b=0}\\{{β}^{2}-aβ-b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{α}^{n}=a{α}^{n-1}+b{α}^{n-2}}\\{{β}^{n}=a{β}^{n-1}+b{β}^{n-2}}\end{array}\right.$，
要證明a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ是數(shù)列{a_n}的通項公式，只需證a_n滿足遞推關(guān)系a_n+1=aa_n+ba_n-1即可．
事實上，a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ
=a_n=c₁（aα^n-1+bα^n-2）+c₂（aβ^n-1+bβ^n-2）
=c₁aα^n-1+c₁bα^n-2+c₂aβ^n-1+c₂bβ^n-2
=a（c₁α^n-1+c₂β^n-1）+b（c₁α^n-2+c₂β^n-2）
=aa_n+ba_n-1，
從而命題得證；
（2）解：由a=b=1及（1）可知a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ是數(shù)列{a_n}的通項公式，
其中α=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$、β=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$為方程x²-x-1=0的兩個不同實根，
故只需確定c₁、c₂即可．
顯然α+β=1，β-α=$\sqrt{5}$，
由a₁=a₂=1，得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}α+{c}_{2}β={a}_{1}=1}\\{{c}_{1}{α}^{2}+{c}_{2}{β}^{2}={a}_{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：c₁=$\frac{1-β}{{α}^{2}-αβ}$=$\frac{α}{{α}^{2}-αβ}$=$\frac{1}{α-β}$=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
同理可得：c₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
因此，a_n=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$+$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．