Question

數(shù)列{a_n}是遞增的等差數(shù)列且滿足a₃+a₅=18，a₂=5，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n
（1）求a_n和S_n
（2）令b_n=

1

an2-1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后由已知列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組求解首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和可求；
（2）把a(bǔ)_n代入b_n=

1

an2-1

，整理后利用裂項(xiàng)相消法求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是遞增的等差數(shù)列，
∴設(shè)其首項(xiàng)為a₁，公差為d（d＞0），
由a₃+a₅=18，a₂=5，得

2a1+6d=18 a1+d=5

，解得：

a1=3 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
Sn=na1+

n(n-1)d

2

=3n+n2-n=n2+2n；
（2）b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．