Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，前n項的和為S_n，且a₇=

1

64

，a₂=

1

2

．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式及前n項的和為S_n；
（Ⅱ）若b_n=log₂（2-S_n），數(shù)列{b_n}前n項的和為T_n，求數(shù)列{

1

Tn

}（n≥2）的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式即可得出．
（II）b_n=log₂（2-S_n）=1-n．可得T_n=

n(1-n)

2

.

1

Tn

=2(

1

n

-

1

n-1

)，再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₇=

1

64

，a₂=

1

2

．
∴a1q6=

1

64

，a1q=

1

2

，解得q=

1

2

，a₁=1，
∴an=a1qn-1=

1

2n-1

．
S_n=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
（II）b_n=log₂（2-S_n）=log2(

1

2

)n-1=1-n．
∴T_n=

n(1-n)

2

．
∴

1

Tn

=2(

1

n

-

1

n-1

)，（n≥2）．
∴數(shù)列{

1

Tn

}（n≥2）的前n項和=

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=2[(

1

2

-1)+(

1

3

-

1

2

)+…+(

1

n

-

1

n-1

)]=2(

1

n

-1)=

2-2n

n

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．