Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂₀₁₃+a₂₀₁₅=$\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}$dx，則a₂₀₁₄（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）的值為（　�。�

• A． π²
• B． 4π²
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 $\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}$dx表示$\frac{1}{4}$圓：y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）的面積，從而得到${a_{2013}}+{a_{2015}}=\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$=π，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出a₂₀₁₄（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）的值．

解答 解：∵$\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}$dx表示$\frac{1}{4}$圓：y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）的面積，
∴$\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}$dx=π，
由已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且${a_{2013}}+{a_{2015}}=\int_0^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$=π，
∴a₂₀₁₄（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）=${{a}_{2013}}^{2}+2{a}_{2013}•{a}_{2015}+{{a}_{2015}}^{2}$=（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）²=π²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．