Question

20．若α∈（0，π），且$cosα+sinα=-\frac{1}{5}$，則tan2α=-$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 由已知可得sinα＞0，cosα＜0，將$cosα+sinα=-\frac{1}{5}$，兩邊平方可得2sinαcosα，進而可求cosα-sinα的值，聯(lián)立可求sinα，cosα，進而解得tanα，利用二倍角的正切函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 解：∵α∈（0，π），可得：sinα＞0，
∵$cosα+sinα=-\frac{1}{5}$，①
∴可得：cosα=-$\frac{1}{5}$-sinα＜0，可得：tanα=$\frac{sinα}{cosα}$＜0，
∵將$cosα+sinα=-\frac{1}{5}$，兩邊平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，可得：2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{（cosα-sinα）^{2}}$=-$\sqrt{1-（-\frac{24}{25}）}$=-$\frac{7}{5}$．②
∴由①②可得：sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{3}{4}$．
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{24}{7}$．
故答案為：-$\frac{24}{7}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．