Question

5．對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列{a_n}滿足$\sum_{i=1}^{n}$a_i=n³，則$\sum_{i=2}^{2009}$$\frac{1}{{a}_{i}-1}$=$\frac{2008}{6027}$．

Answer 1

分析 由題意可得S_n=n³，運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，求得數(shù)列的通項(xiàng)，可得$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3{n}^{2}-3n}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：由題意可得S_n=n³，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
n=2時(shí)，a₁+a₂=8，可得a₂=7，
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n³-（n-1）³
=n²+n（n-1）+（n-1）²=3n²-3n+1，
即有$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3{n}^{2}-3n}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
可得$\sum_{i=2}^{2009}$$\frac{1}{{a}_{i}-1}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2009}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2009}$）=$\frac{2008}{6027}$．
故答案為：$\frac{2008}{6027}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．