Question

19．對于數列{a_n}，若${a_1}=a+\frac{1}{a}（a＞0且a≠1），{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{{{a_n}．}}$
（1）求a₂，a₂，a₄，并猜想{a_n}的表達式；
（2）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用${a_1}=a+\frac{1}{a}，{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{a_n}$，代入計算，可得結論，猜想${a_n}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$．
（2）用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立

解答 解：（1）∵${a_1}=a+\frac{1}{a}，{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{a_n}$，∴${a_2}={a_1}-\frac{1}{a_1}=a+\frac{1}{a}-\frac{a}{{a+\frac{1}{a}}}-\frac{a}{{{a^2}+1}}=\frac{{{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^2}+1）}}$${a_3}={a_1}-\frac{1}{a_2}=\frac{{a_{\;}^2+1}}{a}-\frac{{a（{a^2}+1）}}{{{a^4}+{a^2}+1}}=\frac{{{a^6}+{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^4}+{a^2}+1）}}$
同理可得${a_4}=\frac{{{a^8}+{a^6}+{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^6}+{a^4}+{a^2}+1）}}$
猜想${a_n}=\frac{{{a^{2n}}+{a^{2n-2}}+…+{a^2}+1}}{{a（{a^{2n-2}}+{a^{2n-4}}+…+1）}}=\frac{{\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{{a^2}-1}}}}{{a•\frac{{{a^{2n-1}}}}{{{a^2}-1}}}}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$
（2）（ⅰ）當n=1時，右邊=$\frac{{{a^4}-1}}{{a（{a^2}-1）}}=\frac{{{a^2}+1}}{a}={a_1}$，等式成立．
（ⅱ）假設當n=k時（k∈N^*），等式成立，即${a_k}=\frac{{{a^{2k+2}}-1}}{{a（{a^{2k}}-1）}}$，則當n=k+1時，${a_{k+1}}=a-\frac{1}{a_k}=\frac{{{a^2}+1}}{a}-\frac{{a（{a^{2k}}-1）}}{{{a^{2k+2}}-1}}$=$\frac{{（{a^2}+1）（{a^{2k+2}}-1）-{a^2}（{a^{2k}}-1）}}{{a（{a^{2k+2}}-1）}}$=$\frac{{{a^{2（k+2）}}-1}}{{a（{a^{2（k+1）}}-1）}}$，
這就是說，當n=k+1時，等式也成立．
根據（�。�、（ⅱ）可知，對于一切n∈N^*，${a_n}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$成立．

點評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數列的通項一種常用求解的方法