Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，每次從中任取兩個(gè)球，當(dāng)兩個(gè)球的顏色不同時(shí)，則規(guī)定為中獎．
（1）試用n表示一次取球中獎的概率p；
（2）記從口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中獎的概率為m，求n的最大值；
（3）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)m取得最大值時(shí)將5個(gè)白球全部取出后，對剩下的n個(gè)紅球作如下標(biāo)記：記上i號的有i個(gè)（i=1，2，3，4）），其余的紅球記上0號，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號，求X的分布列、期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）用古典概型求解即可．分母為從n+5任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法，分子為兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種；
（2）每次取球后全部放回，故為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，按照獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率就解出概率，看作p的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，并求出對應(yīng)的n 即可；
（3）X的取值為0，1，2，3，4，利用古典概型分別求出概率，列出分布列，求期望即可．
解答：解：（1）每次從n+5任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法．
它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
一次取球中獎的概率為．
（2）設(shè)每次取球中獎的概率為p次取球中恰有一次中獎的概率是：
m=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p（0＜p＜1
p數(shù)m'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而上為增函數(shù)，m上為減函數(shù)．
∴當(dāng)，即，n=20，
（3）由（Ⅱ）知：紅球共20個(gè)，則記上0的有10球，從中任取一球，有20法，它們是等可能的．故X的分布列是：
．
點(diǎn)評：本題考查古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、利用導(dǎo)數(shù)求最值、離散型隨機(jī)變量及分布列、期望等知識，綜合性較強(qiáng)．