Question

16．函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，|AB|為A、B兩點(diǎn)間距離，定義φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$為曲線f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“曲率”，給出以下問題：
①存在這樣的函數(shù)，該函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)之間的“曲率”為常數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x³-x²+1圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“曲率”φ（A，B）＞$\sqrt{3}$；
③函數(shù)f（x）=ax²+b（a＞0，b∈R）圖象上任意兩點(diǎn)A、B之間的“曲率”φ（A，B）≤2a；
④設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線f（x）=e^x上不同兩點(diǎn)，且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）．
其中正確命題的序號為①③（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 考慮一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，可得φ（A，B）=0，即可判斷①；求出A，B的坐標(biāo)，求得φ（A，B），即可判斷②；求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，可得φ（A，B）≤2a，即可判斷③；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用新定義求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范圍，即可判斷④．

解答 解：對于①，當(dāng)函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）時，f′（x）=k，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|k-k|}{|AB|}$=0，故①正確；
對于②，由題意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x，
可得φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|1-8|}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{7}{\sqrt{17}}$＜$\sqrt{3}$，故②不正確；
對于③，函數(shù)f（x）=ax²+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax，
即有φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2a{x}_{1}-2a{x}_{2}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（a{{x}_{1}}^{2}-a{{x}_{2}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2a}{\sqrt{1+{a}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}}$≤2a，
故③正確；
對于④，由y=e^x得y′（x）=e^x，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=e^x上兩點(diǎn)，且x₁-x₂=1，
可得φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
由t•φ（A，B）＜1恒成立，可得t＜$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
由$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，可得t≤1，故④不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，不等式恒成立問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．