Question

17．設(shè)S為平面上以點(diǎn)A（4，1），B（-1，-6），c（-3，2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域．（三角形內(nèi)部及邊界）試求當(dāng)點(diǎn)（x，y）在區(qū)域S上變動(dòng)時(shí)
（1）t=4x-3y的最大值和最小值．
（2）若把t=4x-3y變?yōu)閠=400x-300y呢？
（3）又把t=4x-3y改為t=4x+y時(shí)結(jié)果如何？

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由t=4x-3y得y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$截距最小，此時(shí)t最大，
代入目標(biāo)函數(shù)t=4x-3y，
得t=4×（-1）-3×（-6）=-4+18=14．
∴目標(biāo)函數(shù)t=4x-3y的最大值是14．
過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$截距最大，此時(shí)t最小，
代入目標(biāo)函數(shù)t=4x-3y，
得t=4×（-3）-3×2=-12-6=-18，
∴目標(biāo)函數(shù)t=4x-3y的最小值是-18．
故t的最大值為14，最小值為-18；
（2）t=400x-300y，則$\frac{1}{100}$t=4x-3y，
由（1）可知t的最大值為1400，最小值為-1800；
（3）t=4x+y，直線與BC平行，在邊界BC上取得最小值-10，在A處取得最大值17．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法．