Question

9．與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同漸近線，且與橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}$=1有共同焦點的雙曲線方程是$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求得已知橢圓的焦點，可得c=$\sqrt{6}$，即a²+b²=6，再求已知雙曲線的漸近線方程，可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解方程可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：設所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}$=1的焦點（0，±$\sqrt{6}$），
可得c=$\sqrt{6}$，即a²+b²=6，
又雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
即有所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用橢圓的焦點坐標和已知雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．