Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，a∈R．
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）把曲線y=f（x）與直線y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax²=x³-x+1只有一個(gè)實(shí)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個(gè)實(shí)根．構(gòu)造函數(shù)
g（x）=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，并畫出其圖象大致形狀，數(shù)形結(jié)合可得方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個(gè)實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）
當(dāng)a=0時(shí)，R上y=f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，（-∞，0），$（{\frac{2a}{3}，+∞}）$為y=f（x）增區(qū)間，$（{0，\frac{2a}{3}}）$為y=f（x）減區(qū)間；
當(dāng)a＜0，$（{-∞，\frac{2a}{3}}）$，（0，+∞）為y=f（x）增區(qū)間，$（{\frac{2a}{3}，0}）$為y=f（x）減區(qū)間；
（2）曲線y=f（x）與直線y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程ax²=x³-x+1只有一個(gè)實(shí)根．
顯然x≠0，
∴方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個(gè)實(shí)根．
設(shè)函數(shù)g（x）=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，則g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$．
設(shè)h（x）=x³+x-2，h′（x）=3x²+1＞0，h（x）為增函數(shù)，又h（1）=0．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
∴g（x）在x=1時(shí)取極小值1．
又當(dāng)x趨向于0時(shí)，g（x）趨向于正無窮；當(dāng)x趨向于負(fù)無窮時(shí)，g（x）趨向于負(fù)無窮；
又當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，g（x）趨向于正無窮．
∴g（x）圖象大致如圖所示：

∴方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是壓軸題．