Question

1．己知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°
（I）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （I）由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，再由向量的模的平方即為向量的平方，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的夾角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos60°=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{1+1+2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$；
|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1-4×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=1-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，以及夾角公式，運(yùn)用向量的平方即為模的平方是解題的關(guān)鍵．