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已知定義在R上的函數f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當x＞0時，f（x）＞1
（1）求證：函數f（x）在R上是增函數；
（2）若f（2）=3，解不等式f（a2+a-5）＜2．
考點：抽象函數及其應用
專題：函數的性質及應用
分析：（1）根據函數單調性的定義，結合抽象函數之間的關系即可證明函數f（x）在R上是增函數；
（2）若f（2）=3，將不等式f（a2+a-5）＜2轉換為f（a2+a-5）＜f（1），利用函數的單調性即可得到結論．
解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴f（m+n）-f（m）=f（n）-1，
設x1＜x2，則x2-x1＞0，
則f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1，
∵當x＞0時，f（x）＞1
∴f（x2-x1）＞1，即f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0，
則f（x2）＞f（x1），
故函數f（x）在R上是增函數；
（2）f（2）=3，則f（2）=f（1）+f（1）-1=3，
即2f（1）=4，則f（1）=2，
則不等式f（a2+a-5）＜2等價為f（a2+a-5）＜f（1）．
∵函數f（x）在R上是增函數，
∴a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0．
解得-3＜a＜2．
故不等式的解集為（-3，2）．
點評：本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據抽象函數，利用賦值法是解決本題的關鍵．綜合性較強．
練習冊系列答案
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已知命題p：?x∈R，x2-x+
1
4
≤0，命題q：?x∈R，sinx+cosx=
2
，則下列判斷正確的是（　�。�
A、p是真命題
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D、￢q是假命題

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A、7B、5C、3D、4

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（Ⅲ）證明：當n≥2，n∈N*時，log2e+log3e+log4e+…+logne＞
3n2-n-2
2n(n+1)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）證明：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅲ）當f（2）=1時，
①解不等式f（x）+f（x-3）≤2；
②求函數f（x）在[
2
，4]上的值域．

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求與曲線y=
3x2
在點P（8，4）處的切線垂直的直線方程．

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3
cos2x+
5
2
3
（x∈R），求：
（1）求函數f（x）的最小正周期
（2）當x∈[0，
π
2
]時，函數f（x）的值域．

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