Question

1．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，將函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式，并作出函數(shù)的簡圖，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x≤2}\\{{x}^{2}-2x，x＞2}\end{array}\right.$，從而作其圖象，并寫出單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≤a}\\{{x}^{2}-ax，x＞a}\end{array}\right.$，分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而比較以確定函數(shù)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x≤2}\\{{x}^{2}-2x，x＞2}\end{array}\right.$，
故作其圖象如右圖，
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≤a}\\{{x}^{2}-ax，x＞a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4時，
f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，在（$\frac{a}{2}$，2]上是減函數(shù)；
而f（1）=a-1，f（2）=2a-4，
故f（1）-f（2）=a-1-2a+4=3-a，
故當(dāng)2＜a≤3時，
f（1）≥f（2），
故f_min（x）=f（2）=2a-4；
當(dāng)3＜a＜4時，
f（1）＜f（2），
故f_min（x）=f（1）=a-1；
②當(dāng)a≥4時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
故f_min（x）=f（1）=a-1；
綜上所述，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-4，2＜a≤3}\\{a-1，a＞3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．