Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，{S_n+na_n}為常數(shù)列，則a_n=（　　）

• A． $\frac{1}{n（n+1）}$
• B． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{3}{（n+1）（n+2）}$
• D． $\frac{5-2n}{6}$

Answer 1

分析 由于{S_n+na_n}為常數(shù)列，可得n≥2時(shí)，S_n+na_n=S_n-1+（n-1）a_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，再利用“累乘求積”方法即可得出．

解答 解：∵{S_n+na_n}為常數(shù)列，∴n≥2時(shí)，S_n+na_n=S_n-1+（n-1）a_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
n=1時(shí)上式也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了“累乘求積”方法、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．