Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；   
（ 2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，求g（x）=e²x-lnx的最小值；
（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：e²x-lnx-$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（x＞0）$，由a≤0和a＞0兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由g（x）=e²x-lnx，得${g^'}（x）={e^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}x-1}}{x}$，由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出g（x）的最小值．
（3）令$φ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，則$φ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令φ'（x）=0，得x=e，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明e²x-lnx-$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax-lnx，a∈R，
∴$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（x＞0）$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{a}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（{0，\frac{1}{a}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（5分）
（2）∵g（x）=e²x-lnx，則${g^'}（x）={e^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}x-1}}{x}$，
令g′（x）=0，得$x=\frac{1}{e^2}$，當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e^2}）$時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)$x∈（\frac{1}{e^2}，e）$時(shí)，g′（x）＞0，
∴當(dāng)$x=\frac{1}{e^2}$時(shí)，g（x）取得最小值，$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{e^2}）=3$．
證明：（3）令$φ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，則$φ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令φ'（x）=0，得x=e．
當(dāng)0＜x≤e時(shí)，φ'（x）≥0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
∴$φ{(diào)（x）_{max}}=φ（e）=\frac{1}{e}+\frac{5}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，
所以${e^2}x-lnx＞\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，${e^2}x-lnx-\frac{lnx}{x}＞\frac{5}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．