Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示．求：
（1）x₀的值；
（2）a，b，c的值．
（3）若曲線y=f（x）（0≤x≤2）與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極大值，求出x₀的值；
（2）根據(jù)圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三個(gè)方程，聯(lián)立方程組求解即可；
（3）由（1）知，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，求出相應(yīng)函數(shù)值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由圖象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x₀=1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得

3a+2b+c=0 12a+4b+c=0 a+b+c=5

，
解得a=2，b=-9，c=12
（3）由（1）知，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
∵f（x）=2x³-9x²+12x，
∴f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，
∵y=f（x）（0≤x≤2）與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴m∈[4，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．