Question

下列命題：
（1）函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對(duì)稱中心是（kπ，0），k∈Z；
（2）函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ）為偶函數(shù)，則ϕ=kπ+

π

2

，k∈Z；
（3）若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
（4）若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
（5）y=sin（|x|+2）的圖象是把y=sin|x|的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的．
其中錯(cuò)誤的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：①正切函數(shù)的對(duì)稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或其漸近線與x軸的交點(diǎn)；
②根據(jù)偶函數(shù)的定義或性質(zhì)判斷；
③結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；
④根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性的定義判斷；
⑤函數(shù)圖象沿x軸的變換看x的變化，據(jù)此進(jìn)行判斷．

解答： （1）因?yàn)閥=tanx的對(duì)稱中心為（

kπ

2

，0），所以令

x

2

=

kπ

2

得x=kπ，所以函數(shù)y=tan

x

2

的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z，故①為真命題；
（2）若f（x）=sin（2x+ϕ）為偶函數(shù)，則f（0）=±1，所以Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，故②正確；
（3）若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則sin（

π

2

-α）＞sinβ，即

π

2

-α＞β，所以α+β＜

π

2

，故③正確；
（4）∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴sinθ＞cosθ＞0，而f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，∴f（sinθ）＜f（cosθ），故④為假命題；
（5）把y=sin|x|的圖象向左平移2個(gè)單位得到的是y=sin|x+2|的圖象，y=sin（|x|+2）的圖象；故⑤錯(cuò)誤．
所以答案為（4）、（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)有關(guān)的知識(shí)，要熟記常見(jiàn)的函數(shù)在圖象對(duì)稱、平移等方面的一些常見(jiàn)結(jié)論是解題的關(guān)鍵．