Question

某次演唱比賽，需要加試綜合素質(zhì)測(cè)試，每位參賽選手需回答三個(gè)問(wèn)題，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術(shù)類題目，2道文學(xué)類題目，2道體育類題目．測(cè)試時(shí)，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．
（I）求某選手在三次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率；
（II）求某選手抽到體育類題目數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理從10道不同的題目中不放回的隨機(jī)抽取三次，每次只抽取1道題，抽法總數(shù)為C₁₀¹C₉¹C₈¹，只有第一次抽到藝術(shù)類題目的抽法總數(shù)為C₆¹C₄¹C₃^1，
（2）由題意知抽到體育類題目數(shù)的可能取值為0，1，2，當(dāng)ξ=0時(shí)，表示沒(méi)有抽到體育類題目，當(dāng)ξ=1時(shí)，表示抽到體育類題目有1個(gè)當(dāng)ξ=2時(shí)，表示抽到體育類題目有2個(gè)，類似于上一問(wèn)做出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理從10道不同的題目中不放回的隨機(jī)抽取三次，每次只抽取1道題，
抽法總數(shù)為C₁₀¹C₉¹C₈¹，
只有第一次抽到藝術(shù)類題目的抽法總數(shù)為C₆¹C₄¹C₃¹
∴P=

C 1 6 C 1 4 C 1 3

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

1

10

．

（2）由題意知抽到體育類題目數(shù)的可能取值為0，1，2
∵當(dāng)ξ=0時(shí)，表示沒(méi)有抽到體育類題目，
當(dāng)ξ=1時(shí)，表示抽到體育類題目有1個(gè)
當(dāng)ξ=2時(shí)，表示抽到體育類題目有2個(gè)
∴P(ξ=0)=

C 1 8 C 1 7 C 1 6

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

7

15

P(ξ=1)=

C 1 3 C 1 2 C 1 8 C 1 7

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

7

15

P(ξ=2)=

C 1 8 C 1 3 C 1 2

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

1

15

∴ξ的分布列為：

∴Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大．