Question

如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）取，若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）用線面垂直證，用等腰三角形中線即為高線證即，根據(jù)線面垂直得判定定理即可得證。（2）由（1）知平面，則為與平面所成的角。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4a/2/1i8pe4.png" style="vertical-align:middle;" />為定值，所以最短即最短時角的正弦值最大。故此時。故此可推導(dǎo)出的值，過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角。也可采用空間向量法。
試題解析：解：方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b6/6/10vvr2.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，
所以                                1分
又，因此                       2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/b/cgss5.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以                         3分
而平面，平面，
所以平面  .              5分
（2）為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角                    6分
在中，，
所以當(dāng)最短時，即當(dāng)時，最大 .              7分
此時，     因此
又