在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,為等腰直角三角形,,且.
(1)證明:平面平面.
(2)求直線EC與平面BED所成角的正弦值.
(1)詳見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:解法一利用綜合法證明解題:
(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD為正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而B(niǎo)D平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)如圖4-1中,設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,所以O(shè)E為兩平面AEC和BED的交線.過(guò)C作平面BED的垂線,其垂足必在直線EO上,即∠OEC為EC與平面BED所成的角.再設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則OA=,AE=2,所以O(shè)E=,EC=,所以在三角形OEC中,利用余弦定理可得 cos∠OEC=,故所求為sin∠OEC=.
解法二利用向量法:以A為原點(diǎn),AE、AB、AD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖4-2所示,
(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) (0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),從而有,,即BD⊥AC,BD⊥AE,所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC.
(2)設(shè)平面BED的法向量為,由,得,故取 8分
而=(-2,2,2),設(shè)直線EC與平面BED所成的角為,則有 .
試題解析:解法一:
(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB, 3分
又ABCD為正方形,所以DB⊥AC, 4分
所以DB⊥平面AEC,而B(niǎo)D平面BED
故有平面AEC⊥平面BED. 6分
(2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,所以O(shè)E為兩平面AEC和BED的交線.
過(guò)C作平面BED的垂線,其垂足必在直線EO上,
即∠OEC為EC與平面BED所成的角. 7分
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則OA=,AE=2,
所以O(shè)E=,EC=, 9分
所以在三角形OEC中,
由余弦定理得 cos∠OEC=,故所求為sin∠OEC= 12分
解法二:以A為原點(diǎn),AE、AB、AD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 1分
(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) 2分
(0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),
從而有,,
即BD⊥AC,BD⊥AE,
所以BD⊥平面AEC,
故平面BED⊥平面AEC. 6分
(2)設(shè)平面BED的法向量為,
由,得,故取 8分
而=(-2,2,2),設(shè)直線EC與平面BED所成的角為,
則有 12分
考點(diǎn):1.直線與平面垂直的判定定理,平面與平面垂直的判定定理;2.直線與平面成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn),AA1=AC=CB=AB.
(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角DA1CE的正弦值..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).
(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)若BE⊥平面PCD,求平面EBD與平面BDC夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點(diǎn),G為PD的中點(diǎn),△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知四棱錐中,底面為菱形,平面,,分別是的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)取,若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且PA⊥平面ABCD.
(1)求證:PC⊥BD;
(2)過(guò)直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點(diǎn)E,且三棱錐E-BCD的體積取到最大值.
①求此時(shí)四棱錐E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AA1上.
(1)當(dāng)AE∶EA1=1∶2時(shí),求證DE⊥BC1;
(2)是否存在點(diǎn)E,使二面角D-BE-A等于60°,若存在求AE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
斜三棱柱,其中向量,三個(gè)向量之間的夾角均為,點(diǎn)分別在上且,=4,如圖
(Ⅰ)把向量用向量表示出來(lái),并求;
(Ⅱ)把向量用表示;
(Ⅲ)求與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(理)如圖,P—ABCD是正四棱錐,是正方體,其中
(1)求證:;
(2)求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值;
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