Question

7．在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，△AMC的三邊長(zhǎng)是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且tan∠C=$\frac{1}{tan∠BAM}$．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，根據(jù)正弦定理可找到α，β與B，C的正弦之間的關(guān)系，進(jìn)而再由誘導(dǎo)公式可確定α與β的關(guān)系．
（2）先設(shè)出3個(gè)連續(xù)的整數(shù)，再由勾股定理確定關(guān)系，根據(jù)余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，則由tanC=cotα，可得α+C=90°，
∴β+B=90°．…（1分）
△ABM中，由正弦定理得$\frac{BM}{sinα}=\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{sinB}{sinα}=\frac{AM}{MB}$，同理得$\frac{sinC}{sinβ}=\frac{AM}{MC}$，…（3分）
∵M(jìn)B=MC，
∴$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{sinC}{sinβ}$，
∴sinαsinC=sinβsinB，
∵α+C=90°，β+B=90°，
∴sinαcosα=sinβcosβ，…（5分）
即sin2α=sin2β，
∴α=β，或α+β=90°，
當(dāng)α+β=90⁰時(shí)，AM=$\frac{1}{2}$BC=MC，與△AMC的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．…（7分）
（2）在直角三角形AMC中，設(shè)兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，
由（n+1）²=n²+（n-1）²，得n=4，…（9分）
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=$\frac{7}{25}$，或cos∠BAC=-$\frac{7}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．三角函數(shù)部分公式比較多，一定要強(qiáng)化記憶，屬于中檔題．