Question

12．已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為12+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 借助常見的正方體模型解決．由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB₁D₁與面CB₁D₁截去兩個(gè)角所得，其表面由兩個(gè)等邊三角形、四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成．計(jì)算得其表面積為12+4$\sqrt{3}$

解答 解：由三視圖知，AB=BC=CD=DA=2，CE⊥平面ABCD，CE=2，
AE⊥平面ABCD，AE=2，
EF=2$\sqrt{2}$，BE=BF=DE=DF=2，
則△DEF，△BEF為正三角形，
則S_△ABF=S_△ADF=S_△CDE=S_△CBE=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
S_△BEF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
S_△DEF═$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，S_{正方形ABCD}=2×2=4，
則該幾何體的表面積S=4×2+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+4=12+4$\sqrt{3}$，
故答案為：12+4$\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題主要考查空間幾何體的表面積，根據(jù)三視圖確定對應(yīng)幾何體的邊長關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．