Question

3．已知函數f（x）=sinx+acosx圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{4}$，且當x=θ時，函數g（x）=sinx+f（x）取得最大值，則cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根據三角函數的對稱性，求a的取值，并將函數g（x）化為y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的形式，運用整體思想，當g（x）的最大值時，確定θ的取值，運用誘導公式計算cosθ．

解答 解：函數f（x）=sinx+acosx圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{4}$，
∴$f（0）=f（\frac{π}{2}）$，即$sin0+acos0=sin\frac{π}{2}+acos\frac{π}{2}$
∴a=1
∴g（x）=sinx+sinx+cosx
=2sinx+cosx
=$\sqrt{5}（\frac{2\sqrt{5}}{5}sinx+\frac{\sqrt{5}}{5}cosx）$
令cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ （β∈R）
則 g（x）=$\sqrt{5}（cosβsinx+sinβcosx）$=$\sqrt{5}sin（x+β）$
∵x+β∈R 
∴當sin（x+β）=1時，g（x）取得最大值$\sqrt{5}$，
由題，此時x=θ．即sin（θ+β）=1，
∴$θ+β=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
∴$θ=\frac{π}{2}+2kπ-β$，（k∈Z）
∴$cosθ=cos（\frac{π}{2}+2kπ-β）$=sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故填：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 考查三角函數對稱性，三角函數兩角和與差公式逆用（輔助角公式），三角函數誘導公式．考查一般到特殊的思想，整體思想．屬于中檔題．