3.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{4}$,且當(dāng)x=θ時,函數(shù)g(x)=sinx+f(x)取得最大值,則cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

分析 根據(jù)三角函數(shù)的對稱性,求a的取值,并將函數(shù)g(x)化為y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的形式,運用整體思想,當(dāng)g(x)的最大值時,確定θ的取值,運用誘導(dǎo)公式計算cosθ.

解答 解:函數(shù)f(x)=sinx+acosx圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{4}$,
∴$f(0)=f(\frac{π}{2})$,即$sin0+acos0=sin\frac{π}{2}+acos\frac{π}{2}$
∴a=1
∴g(x)=sinx+sinx+cosx
=2sinx+cosx
=$\sqrt{5}(\frac{2\sqrt{5}}{5}sinx+\frac{\sqrt{5}}{5}cosx)$
令cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ (β∈R)
則 g(x)=$\sqrt{5}(cosβsinx+sinβcosx)$=$\sqrt{5}sin(x+β)$
∵x+β∈R 
∴當(dāng)sin(x+β)=1時,g(x)取得最大值$\sqrt{5}$,
由題,此時x=θ.即sin(θ+β)=1,
∴$θ+β=\frac{π}{2}+2kπ,(k∈Z)$
∴$θ=\frac{π}{2}+2kπ-β$,(k∈Z)
∴$cosθ=cos(\frac{π}{2}+2kπ-β)$=sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故填:$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$.

點評 考查三角函數(shù)對稱性,三角函數(shù)兩角和與差公式逆用(輔助角公式),三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.考查一般到特殊的思想,整體思想.屬于中檔題.

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