Question

11．如圖，在△AOB中，已知P為線段AB上的一點，且$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，求x，y的值；
（2）若|$\overrightarrow{OB}$|=6，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據(jù)向量的三角形法則，得到$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，問題得以解決．
（2）設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=t，根據(jù)向量的運算，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=t+12-$\frac{2}{3}$t²=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{93}{8}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=2（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴3$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
（2）∵|$\overrightarrow{OB}$|=6，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=t，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OA}$|•cos$\frac{π}{3}$=3t，
由（1）知$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$）（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{OB}$|²-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{OA}$|²，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=t+12-$\frac{2}{3}$t²=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{99}{8}$
當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時，有最大值，最大值為$\frac{99}{8}$．

點評 本題考點是向量在幾何中的應(yīng)用，綜合考查了向量三角形法則，向量的線性運算，向量的數(shù)量積的運算及數(shù)量積公式，熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，本題是向量基本題，計算題