如圖, 三棱柱ABC—A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC1上動點, F是AB中點, AC =" 1," BC =" 2," AA1 =" 4."
(1) 當E是棱CC1中點時, 求證: CF∥平面AEB1;
(2) 在棱CC1上是否存在點E, 使得二面角A—EB1—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長, 若不存在,
請說明理由.
(1)取AB1的中點G, 聯(lián)結EG, FG,F、G分別是棱AB、AB1中點,
又FG∥EC, , FG=EC 四邊形FGEC是平行四邊形, 平面AEB.
(2)在棱CC1上存在點E, 符合題意, 此時
解析試題分析:(1)證明:取AB1的中點G, 聯(lián)結EG, FG
F、G分別是棱AB、AB1中點,
又FG∥EC, , FG=EC 四邊形FGEC是平行四邊形,
4分
CF平面AEB1, 平面AEB1 平面AEB. 6分
(2)解:以C為坐標原點, 射線CA, CB, CC1為軸正半軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系
則C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B1(0, 2, 4)
設, 平面AEB1的法向量.
則,
由,
得 8分
平面
是平面EBB1的法向量,則平面EBB1的法向量 10分
二面角A—EB1—B的平面角余弦值為,
則解得
在棱CC1上存在點E, 符合題意, 此時 12分
考點:線面平行的判定與二面角的求解
點評:線面平行的判定常借助于面內(nèi)一直線與面外直線平行來證明,第二問求二面角主要借助了空間直角坐標系將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩個半平面的法向量所成角問題
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2, E,F,G分別是PC,PD,BC的中點.
(1)求三棱錐E-CGF的體積;
(2)求證:平面PAB//平面EFG;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如圖乙),設點E、F分別為棱AC、AD的中點.
(1)求證:DC平面ABC;
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
是雙曲線 上一點,、分別是雙曲線的左、右頂點,直線,的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于,兩點,為坐標原點,為雙曲線上一點,滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐E—ABCD中,ABCD是矩形,平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點,且BF平面AC E.
(1)求證:AEBE;
(2)求三棱錐D—AEC的體積;
(3)求二面角A—CD—E的余弦值.
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