如圖,四棱錐E—ABCD中,ABCD是矩形,平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn),且BF平面AC E.
(1)求證:AEBE;
(2)求三棱錐D—AEC的體積;
(3)求二面角A—CD—E的余弦值.
(1)空間中的線線垂直的證明,一般主要是通過線面垂直的性質(zhì)定理來加以證明。
(2)
(3)
解析試題分析:解:(1)ABCD是矩形,BCAB,平面EAB平面ABCD,平面EAB平面ABCD=AB,BC平面ABCD,BC平面EAB,
EA平面EAB,BCEA ,BF平面ACE,EA平面ACE,BF EA, BC BF=B,BC平面EBC,BF平面EBC,EA平面EBC ,BE平面EBC, EA BE。
(2) EA BE,AB=
,設(shè)O為AB的中點(diǎn),連結(jié)EO,
∵AE=EB=2,EOAB,平面EAB平面ABCD,EO平面ABCD,即EO為三棱錐E—ADC的高,且EO=,。
(3)以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)E、OB所在直線為,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,由(2)知是平面ACD的一個(gè)法向量,設(shè)平面ECD的法向量為,則,即,令,則,所以,設(shè)二面角A—CD—E的平面角的大小為,由圖得,
所以二面角A—CD—E的余弦值為。
考點(diǎn):二面角的平面角,線面垂直
點(diǎn)評:解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,以及建立直角坐標(biāo)系來求解二面角的 平面角是常用 方法之一,屬于基礎(chǔ)題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起,使EF//AB且,得一簡單組合體如圖(2)所示,已知分別為的中點(diǎn).
圖(1) 圖(2)
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖, 三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn), F是AB中點(diǎn), AC =" 1," BC =" 2," AA1 =" 4."
(1) 當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí), 求證: CF∥平面AEB1;
(2) 在棱CC1上是否存在點(diǎn)E, 使得二面角A—EB1—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長, 若不存在,
請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,與是均以為斜邊的等腰直角三角形,,分別為,,的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且平面.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面為一直角梯形,其中,底面,是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證://平面;
(Ⅱ)若平面,求平面與平面夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四邊形ABCD為平行四邊形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = ,M為線段AB的中點(diǎn),N為線段DE的中點(diǎn),P為線段AE的中點(diǎn)。
(1)求證:MN⊥EA;
(2)求四棱錐M – ADNP的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),且AB=AD,BC=DC.
(1)求證:平面EFGH;
(2)求證:四邊形EFGH是矩形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)在如圖的多面體中,⊥平面,,,,,,,是的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求證:;
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
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