是雙曲線 上一點(diǎn),分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn),直線的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率;
(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),滿足,求的值.

(1) e=.  (2)λ=0或λ=-4.

解析試題分析:(1)點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線=1上,有=1,        1分
由題意又有·,                       2分
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,則e=.                  4分
(2)聯(lián)立,得4x2-10cx+35b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
①                          6分
設(shè),,即
又C為雙曲線上一點(diǎn),即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2  。7分
化簡(jiǎn)得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2             。9分
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以-5=5b2-5=5b2
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2
得λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.                   12分
考點(diǎn):本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,平面向量的線性運(yùn)算。
點(diǎn)評(píng):難題,曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,確定得到離心率。本題(II)在利用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上,又利于點(diǎn)在曲線上得到λ的方程,使問(wèn)題得解。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在三棱柱ABC—中,底面為正三角形,平面ABC,=2AB,N是的中點(diǎn),M是線段上的動(dòng)點(diǎn)。

(1)當(dāng)M在什么位置時(shí),,請(qǐng)給出證明;
(2)若直線MN與平面ABN所成角的大小為,求的最大值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4, BD=,AB=2CD=8.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖, 三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn), F是AB中點(diǎn), AC =" 1," BC =" 2," AA1 =" 4."

(1) 當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí), 求證: CF∥平面AEB1;
(2) 在棱CC1上是否存在點(diǎn)E, 使得二面角A—EB1—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長(zhǎng), 若不存在,
請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,四邊形PCBM是直角梯形,,.又,直線AM與直線PC所成的角為

(1)求證:
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,是均以為斜邊的等腰直角三角形,,分別為,的中點(diǎn),的中點(diǎn),且平面.

(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面為一直角梯形,其中底面,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證://平面;
(Ⅱ)若平面,求平面與平面夾角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知四邊形ABCD為平行四邊形,BC⊥平面ABE,AEBE,BE = BC = 1,AE = ,M為線段AB的中點(diǎn),N為線段DE的中點(diǎn),P為線段AE的中點(diǎn)。

(1)求證:MNEA;
(2)求四棱錐MADNP的體積。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)。

(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)E在何位置時(shí),BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大小.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案