Question

13．如圖所示，有一塊半徑長(zhǎng)為1米的半圓形鋼板，現(xiàn)要從中截取一個(gè)內(nèi)接等腰梯形部件ABCD，設(shè)梯形部件ABCD的面積為y平方米．
（I）設(shè)CD=2x（米），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
（II）求梯形部件ABCD面積y的最大值．

Answer 1

分析 如圖所示，以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，
（I）由CD的長(zhǎng)表示出OE的長(zhǎng)，利用勾股定理表示出CE的長(zhǎng)，利用梯形面積公式表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（II）把表示出y與x的關(guān)系式變形，令被開方數(shù)等于t，求出導(dǎo)函數(shù)t′，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的增減性，進(jìn)而求出y的最大值即可．

解答 解：如圖所示，以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，
（I）∵CD=2x，
∴OE=x（0＜x＜1），CE=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（|AB|+|CD|）•CE=$\frac{1}{2}$（2+2x）$\sqrt{1-{x}^{2}}$=（x+1）$\sqrt{1-{x}^{2}}$（0＜x＜1）；

（II）y=$\sqrt{（x+1）^{2}（1-{x}^{2}）}$=$\sqrt{-{x}^{4}-2{x}^{3}+2x+1}$，
令t=-x⁴-2x³+2x+1，
則t′=-4x³-6x²+2=-2（2x³+3x²-1）=-2（x+1）²（2x-1），
令t'=0，得到x=$\frac{1}{2}$或x=-1（舍），
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，t'＞0，
∴函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，t'＜0，
∴函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，t有最大值$\frac{27}{16}$，y_max=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
答：梯形部件y'=0面積的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$平方米．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)增減性中的應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．