Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+2x在x=$\frac{1}{2}$處取得極值．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x-1）＞$\frac{e}{{e}^{x}}$+2x-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\frac{1}{2}$）=0，求出a的值檢驗即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明：ln（x-1）+$\frac{1}{x-1}$＞$\frac{e}{{e}^{x}}$，令m（x）=ln（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2，（x＞0），
若函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+2x在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，
則f′（$\frac{1}{2}$）=2a-4+2=0，解得：a=1，
經(jīng)檢驗a=1符合題意；
（2）證明：由（1）得：a=1，
故f（x-1）=ln（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2（x-1），
問題轉(zhuǎn)化為證明：ln（x-1）+$\frac{1}{x-1}$＞$\frac{e}{{e}^{x}}$，
令m（x）=ln（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，（x＞1），
則m′（x）=$\frac{x-2}{{（x-1）}^{2}}$，（x＞1），
令m′（x）＞0，解得：x＞2，令m′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故m（x）在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故m（x）＞m（2）=1，
而$\frac{2}{{e}^{x}}$＜$\frac{2}{e}$＜1，
故f（x-1）＞$\frac{e}{{e}^{x}}$+2x-2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及極值的意義，是一道中檔題．