Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx）．
（1）若向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{2π}{3}$，求x的值；
（2）若將函數(shù)y=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，所得圖象的解析式記為g（x），求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得cos2x的值，從而求得x的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵平面向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx），向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{2π}{3}$，
∴cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}{1•1}$=cos2x，
∴2x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或2x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，即 x=kπ+$\frac{π}{3}$，或x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
（2）將函數(shù)y=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos²x-sin²x=cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，
所得圖象的解析式記為g（x）=cos2（x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．