Question

1．（I）若關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用絕對(duì)值不等式，得出-3≤|x+1|-|x-2|≤3，根據(jù)關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}＜k\sqrt{8x+6y}$對(duì)正實(shí)數(shù)x，y恒成立，等價(jià)于$k＞\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$恒成立，利用柯西不等式$（{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}）（{8x+6y}）≥{（{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}）^2}⇒\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（I）∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
又原不等式的解集是空集，|a-3|≥3⇒a≥6或a≤0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[6，+∞）
（II）由柯西不等式$（{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}）（{8x+6y}）≥{（{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}）^2}⇒\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{\sqrt{8x}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{{\sqrt{6y}}}{{\sqrt{\frac{1}{2}}}}即8x=3y$時(shí)$\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$取最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
又不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}＜k\sqrt{8x+6y}$對(duì)正實(shí)數(shù)x，y恒成立，等價(jià)于$k＞\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$恒成立，
∴$k＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，柯西不等式的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．