Question

11．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：百萬元）與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$
（1）求y關(guān)于x的回歸直線方程．
（2）預(yù)測廣告費(fèi)支出為10（單位：百萬元）時(shí)，銷售額為多少？

Answer 1

分析 （1）先求得廣告費(fèi)支出x和銷售額y的平均數(shù)，求得樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法即可求得線性回歸方程的系數(shù)$\widehat$，代入樣本中心點(diǎn)求得a，即可求得y關(guān)于x的回歸直線方程；
（2）將x=10，代入線性回歸方程，即可求得銷售額．

解答 解：（1）由$\overline{x}$=$\frac{2+4+5+6+8}{5}$=5，$\overline{y}$=$\frac{30+40+60+50+70}{5}$=50，
$\sum_{i=1}^{5}$y_ix_i=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，5$\overline{x}$$\overline{y}$=5×5×50=1250，
$\sum_{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$=4+16+25+36+64=145，5${\overline{x}}^{2}$=5×25=125，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1380-1250}{145-125}$=6.5，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$=50-6.5×5=17.5，
∴線性回歸方程：$\widehat{y}$=6.5x+17.5；
（2）當(dāng)廣告費(fèi)支出為10（百萬元）時(shí)，
$\widehat{y}$=6.5×10+17.5=82.5萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法及應(yīng)用，考查利用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．