Question

棱長(zhǎng)為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒(méi)．然后再放入一個(gè)鐵球，使它淹沒(méi)水中，要使流出來(lái)的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng)該為多大？

Answer 1

分析：先畫(huà)出過(guò)正方體對(duì)角面的截面圖，設(shè)小球的半徑r，通過(guò)AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出來(lái)的水量最多時(shí)這個(gè)鐵球的半徑．

解答：解：過(guò)正方體對(duì)角面的截面圖如圖所示，設(shè)兩球的交點(diǎn)為S
AC₁=

3

，AO=

3

，AS=AO-OS=

3

-1，
設(shè)小球的半徑r，tan∠C₁AC=

2

2

．
在△AO₁D中，AO₁=

3

r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴

3

-1=

3

r+r．
解得：r=2-

3

（cm）為所求．
要使流出來(lái)的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng)該為2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球與多面體相切問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題必須做出正確的截面（即截面一定要過(guò)球心），再運(yùn)用幾何知識(shí)解出所求量．