Question

19．在（${\frac{1}{{\sqrt{x}}}$-3）ⁿ，（n∈{N^*）的展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和為16，求$\frac{1}{x}$的系數(shù)為54．

Answer 1

分析 在二項(xiàng)式中令x=1可得展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和，由此求出n的值，再利用展開(kāi)式的通項(xiàng)求出含$\frac{1}{x}$項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：在${（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}-3}）^n}$中，令x=1可得，其展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和為（-2）ⁿ，
又由題意可得，（-2）ⁿ=16，則n=4，
則${（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}-3}）^4}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：
${T_{r+1}}=C_4^r{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^{4-r}}{（{-3}）^r}$，
令4-r=2，可得r=2，
則含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)為：
${T_3}=C_4^2{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^2}{（{-3}）^2}=\frac{54}{x}$，
所以$\frac{1}{x}$的系數(shù)為54．
故答案為：54．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了求二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的方法與展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．