Question

14．若曲線f（x）=$\frac{a}{2}$x²-e^x不存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，e）．

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）=ax-e^x=0無實(shí)數(shù)解，即有a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，求得極小值，結(jié)合圖象即可得到a的范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{a}{2}$x²-e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ax-e^x，
由f（x）不存在垂直于y軸的切線，
可得ax-e^x=0無實(shí)數(shù)解，
由a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
可得g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增；
當(dāng)x＜0或0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0），（0，1）遞減．
即有g(shù)（x）在x=1處取得極小值，且為e，
由于直線y=a與y=g（x）圖象無交點(diǎn)，
可得0≤a＜e，
故答案為：[0，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．