Question

【題目】根據(jù)下列關(guān)系式，算出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后猜想它的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析； （2），，證明見解析； （3），，證明見解析.

【解析】

分別求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法，作出證明即可.

（1）由，

令，則；令，則；令，則，

由此可猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，

證明如下：

①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；

②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，

則當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)也成立，

由①②可得對(duì)都成，即，.

（2）由，

當(dāng)時(shí)，，即，即；

當(dāng)時(shí)，，即，即；

當(dāng)時(shí)，，即，即；

猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，

證明如下：

①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；

②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，

則當(dāng)時(shí)，，且，

兩式相減可得，即，

整理得，

即當(dāng)時(shí)也成立，

由①②可得對(duì)都成，即，.

（3）由，

令，可得，即，因?yàn)?/span>，則；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

證明如下：

①當(dāng)時(shí)，，命題成立；

②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，

則當(dāng)時(shí)，

，

所以，解得，

即當(dāng)時(shí)也成立，

由①②可得對(duì)都成，即，.