Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)與短軸的兩頂點(diǎn)的連線與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$為定值？如果有，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及定值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)與短軸的兩頂點(diǎn)的連線與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓立，利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出存在點(diǎn)$N（{\frac{11}{8}，0}）$滿足$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}=-\frac{135}{64}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)與短軸的兩頂點(diǎn)的連線與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{bc=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c²=1，a²=4，b²=3
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（6分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}=12\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.⇒（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$
則△＞0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}\end{array}\right.$，
若存在定點(diǎn)N（m，0）滿足條件，
則有$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=${m}^{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）$
$\begin{array}{l}=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}-（{m+{k^2}}）（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}+{m^2}\\=\frac{{（{1+{k^2}}）（{4{k^2}-12}）}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{（{m+{k^2}}）8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+{k^2}+{m^2}\\=\frac{{（{4{m^2}-8m-5}）{k^2}+3{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}\end{array}$
如果要上式為定值，則必須有$\frac{{4{m^2}-8m-5}}{{3{m^2}-12}}=\frac{4}{3}⇒m=\frac{11}{8}$
驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，也符合．
故存在點(diǎn)$N（{\frac{11}{8}，0}）$滿足$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}=-\frac{135}{64}$（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．