Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$，其中a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是3x-y+2=0．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由切線的方程可得f（1）=5，f′（1）=3，解方程可得a，b，進而得到f（x）的解析式；
（2）對x討論，當x＞0，x＜0時，運用基本不等式可得最值，進而得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$的導數(shù)為f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$，
可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為a-b，
由切線方程3x-y+2=0，可得a-b=3，a+b=5，
解得a=4，b=1，
可得f（x）=4x+$\frac{1}{x}$；
（2）當x＞0時，4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4，
當且僅當x=$\frac{1}{2}$取得最小值4；
當x＜0時，4x+$\frac{1}{x}$=-[（-4x）+（-$\frac{1}{x}$）≤-2$\sqrt{（-4x）•（-\frac{1}{x}）}$=-4，
當且僅當x=-$\frac{1}{2}$取得最大值-4．
綜上可得，f（x）的取值范圍是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導數(shù)的幾何意義，同時考查基本不等式的運用：求最值和范圍，考查運算能力，屬于中檔題．