Question

設(shè)f（x）=

4x

4x+2

，若0＜a＜1，試求：
（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2f（

1

4025

）+f（

2

4025

）+f（

3

4025

）+…+f（

4024

4025

）的值；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)f（a）+f（1-a），求得結(jié)果．
（2）由條件利用f（a）+f（1-a）=1，求得要求式子的值．
（3）根據(jù)f(x)=

4x

4x+2

=1-

2

4x+2

，4^x＞0，利用不等式的性質(zhì)求得0＜

1

4x+2

＜1，可得f（x）的值域．

解答： 解：（1）f(a)+f(1-a)=

4a

4a+2

+

41-a

41-a+2

=

4a

4a+2

+

4 4a

4 4a +2

=

4a

4a+2

+

4

4+2•4a

=

4a

4a+2

+

2

2+4a

=1．
（2）∵0＜

1

4025

＜

2

4025

＜

3

4025

＜…＜

4024

4025

＜1，
由（1）得 f(

1

4025

)+f(

2

4025

)+f(

3

4025

)+…+f(

4024

4025

)=[f(

1

4025

)+f(

4024

4025

)]+[f(

2

4025

)+f(

4023

4025

)]…+[f(

2012

4025

)+f(

2013

4025

)]=1×2012=2012．
（3）∵f(x)=

4x

4x+2

=1-

2

4x+2

，
又4^x＞0，∴4^x+2＞2，∴0＜

1

4x+2

＜1，∴0＜1-

1

4x+2

＜1，∴f(x)=

4x

4x+2

的值域?yàn)椋?，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．